算法总结--线段树
声明(
叠甲)：鄙人水平有限，本文为作者的学习总结，仅供参考。
1.线段树介绍
线段树说是算法，更应该算是一种二叉树数据结构的使用。
其每个树的节点表示一个区间，其孩子节点表示该区间二分下来的两个节点，其值可以表示这个区间数据的某种运算，如最值、求和等，以下以数组 [1,2,3,4] 为栗子说明,如下所示，根节点表示区间 [1,4] 的和，其它以此类推。
node：当前区间数的和[区间的左边界,区间的右边界]
10[1,4]
/ \
3[1,2] 7[3,4]
/ \ / \
1[1] 2[2] 3[3] 4[4]
有如上所示的二叉树以后我们获取区间和的时间复杂度就从 O(n) 到了 O(logn),但数据量十分庞大时这是十分重要的。当然，在节点维护时需要使用一种特殊的方法进行 —— Lazy-tag 技术，这让修改的和时间复杂为降为了O(logn)。
2.二叉树
上面说过，线段树是二叉树的一种，故在深入线段树时，我们先来了解一下二叉树的一些知识点：
如下编号为 K 的节点对应的左孩子为 K+K,右孩子为 K+K+1
在程序为了提高运行效率常常写成 K<<1 与 K<<1|1
node：节点编号
K
/ \
K<<1 K<<1|1
3.Lazy-tag 技术
对于线段树来说，Lazy-tag 技术是十分的重要的，这是将时间复杂减小来的原因。
其实现的方法具体来说就是使用一些数来对节点进行标记，从而使只有对应区间的根节点会被进行更改，不其内部的值不做更改，具体代码实现见下文。
4.举个栗子——线段树模板题
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
- 将某区间每一个数加上 k。
- 求出某区间每一个数的和。
这种要多次对不同的区间进行操作，线段树是很好的选择，其代码实现可以分为以下几个步骤
4.1.建树
如论是维护还是查询我们都应该先有一个对应的目标不是
// 创建一个开始编号为 index
// 区间为 [l,r] 的一个线段树
void build_tree(int index,int l,int r)
{
// 如果为叶节点，即区间中自有一个数
if(r == l)
{
tree[index] = nums[l];
return;
}
// 递归遍历所有的节点
int m = (r+l) >> 1; // 二分区间
build_tree(index<<1,l,m);// 左孩子
build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子
// 赋值，父节点值为其俩孩子的和
tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1];
}
4.2.维护线段树
在维护数据时，我使用 Lazy-tag 的方法进行处理，具体步骤如下：
【1】 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内
【2】 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现
【3】判断是否进行左右节点的递归
【4】更新父节点的数据
// 父节点的 lazy-tag 向其孩子进行传递
void push_down(int index,int l,int r)
{
int m = (l+r)>>1;
// 左孩子
tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1);
tag[index<<1] += tag[index];
// 右孩子
tree[index<<1|] += tag[index]*(r-m);
tag[index<<1|] += tag[index];
// 去除父节点的标志
tag[index] = 0；
}
// 对编号为 index，区间 [l,r] 的中 [x,y] 进行修改
void update(int index,int l,int r,int x,int y)
{
// [1] 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内
if(x <= l && y >= r)
{
tree[index] += k*(r-l+1);
tag[index] += k;
return;
}
// [2] 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现
if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r);
// [3] 判断是否进行左右节点的递归
int m = (l+r)>>1;
if(x <= m) update(index,l,m,x,y); // 左边
if(y > m) update(index,m+1,r,x,y);// 右边
// [4] 更新父节点的数据
tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1];
}
4.3.查询
需要注意的是，查询时也需要进行 Lazy-tag 的下传
// 查询 [l,r] 中的 [x,y] 区间
ll calc(int index,int l,int r,int x,int y)
{
// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
if(x <= l && y >= r)
{
return tree[index];
}
// [2] lazy-tag 下传
if(tag[index] != 0)
push_down(index,l,r);
// [3] 递归左右孩子节点，并计算结果
ll ret = 0;
int m = (l+r)>>1;
if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y); // 左边
if(y > m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边
return ret;
}
4.4.AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
#define N_MAX 100000
int n,m,k;
ll nums[N_MAX+1],tree[N_MAX*4+1],tag[N_MAX*4+1];
// 建树
void build_tree(int index,int l,int r)
{
// 初始化标记
tag[index] = 0;
// 如果是叶节点
if(l == r)
{
tree[index] = nums[l];
return;
}
// 递归遍历所有节点
int m = (l+r) >> 1;
build_tree(index<<1,l,m); // 左孩子
build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子
// 父节点的值为两孩子
tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1];
}
// lazy-tag 下传
// 需要对左右孩子的 tag 与值都进行修改
void push_down(int index,int l,int r)
{
int m = (l+r)>>1;
// 左孩子
tag[index <<1] += tag[index];
tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1);
// 右孩子
tag[index <<1|1] += tag[index];
tree[index<<1|1] += tag[index]*(r-m);
// 清除自己的标志
tag[index] = 0;
}
// 更新线段树节点的数据
void update(int index,int l,int r,int x,int y)
{
// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
if(x <= l && y >= r)
{
// 更新数据与 lazy-tag
tree[index] += k*(r-l+1);
tag[index] += k;
return;
}
// [2] lazy-tag 下传
if(tag[index] != 0)
push_down(index,l,r);
// [3] 递归左右孩子节点
int m = (l+r)>>1;
if(x <= m) update(index<<1,l,m,x,y); // 左边
if(y > m) update(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边
// [4] 更新数据
tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1];
}
// 查询
ll calc(int index,int l,int r,int x,int y)
{
// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
if(x <= l && y >= r)
{
return tree[index];
}
// [2] lazy-tag 下传
if(tag[index] != 0)
push_down(index,l,r);
// [3] 递归左右孩子节点，并计算结果
ll ret = 0;
int m = (l+r)>>1;
if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y); // 左边
if(y > m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边
return ret;
}
void print_tree()
{
cout << "tree: ";
for(int i = 1;i <= 7;i++)
{
cout << tree[i] << " ";
}
cout << endl;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
// [1] 获取数据并进行建树
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin >> nums[i];
}
build_tree(1,1,n);
while(m--)
{
int x,y,op;
cin >> op >> x >> y;
if(op == 1) // 更新数据
{
cin >> k;
update(1,1,n,x,y);
}
else // 搜索数据
{
cout << calc(1,1,n,x,y) << endl;
}
}
}
5.参考
洛谷线段树题解
木子喵的算法课
线段树的懒标记与应用
本文到此结束，希望对您有所帮助。