算法学习笔记(20): AC自动机
AC自动机
前置知识：
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字典树：可以参考我的另一篇文章 算法学习笔记(15): Trie（字典树）
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KMP：可以参考 KMP - Ricky2007，但是不理解KMP算法并不会对这个算法的理解产生影响。
使用场景
AC自动机是一种著名的多模式匹配算法。
可以完成类似于KMP算法的工作，但是由单字符串的匹配变成了多字符串的匹配。
一般来说，会有很多子串，和一个母串。问题常是求字串在母串中的出现情况（包括位置，次数，等等）
算法思想与流程
我在Trie树一文中提到过这样一句话
而AC自动机的核心就在于通过对Trie树进行处理，使得在处理母串的信息时可以快速的进行状态转移。
可以类比KMP的算法流程，但是这不重要
例如子串有 aa, ab, abc, b。母串为 ababcba。
由于我们是通过母串进行状态转移，所以需要先把所有字串的信息搞定
我们可以先处理子串，建一棵Trie树
明显，对于一个字串的匹配，是不可能在树上一路到底的，所以要构建匹配失败时的回退机制。也就是需要构建失配指针。
那么失配指针是干什么的？也就是用来在 Trie 树上向上跳，找到可以转移的一个节点，进行状态转移。
假如我现在在3号节点，并且我下一个需要转移的状态是 b，很明显，我此时应该回退到1节点（其上第一个可以通过 b 转移的节点）并转移到4节点。如果再来一个 b，也只能向上走到0号节点，然后转移到2号节点。
如此看来，我们完全可以暴力向上跳找到可转移的状态或者到达根为止。但是，这明显不够优秀，我们完全可以继承其子节点的。也就是继承 fail 的子节点。使得不需要暴力向上跳。
那说了半天，fail 到底指向啥？
假设父节点到当前节点转移的状态为 x，父节点之上第一个可以通过 x 转移到下一个节点的节点为 u，则 fail 指向 u 通过 x 转移过后的节点。
其实还有另一种解释的方法
fail指向p代表当前串的最长已知后缀。例如
aa的最长已知后缀为a，所以 3号节点的fail指向 1号节点；abc的最长已知后缀为空，所以5号节点的fail指向根节点。
好混乱，我尽力了……
那么核心代码……就是利用 BFS 来处理
void procFail(int * q) {
int head(0), tail(0);
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[0][i]) q[tail++] = kids[0][i];
}
while (head ^ tail) {
int x = q[head++];
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[x][i]) {
fail[kids[x][i]] = kids[fail[x]][i];
q[tail++] = kids[x][i];
} else kids[x][i] = kids[fail[x]][i];
}
} // procFail end
}
注意事项：一般来说，把 0 号作为根节点会比较方便。反正 0 上不可能有信息保存。
插入部分我就不需要讲了
匹配的判断
如何判断当前状态有没有匹配任何一个字串，只需要不断向上跳 fail，看跳到的节点是不是代表着字串。
拿模板：【模板】AC 自动机（简单版） - 洛谷 为例。
插入的时候在最后标记一下有没有匹配：
void insert(string &s) {
int p(0);
for (int c : s) {
if (!kids[p][(c -= 'a')]) kids[p][c] = ++usage;
p = kids[p][c];
}
++cnt[p];
}
在匹配的时候暴力跳就是了：
int ACMatch(string & s) {
int p(0), ans(0);
for (int c : s) {
p = kids[p][(c -= 'a')];
for (int t(p); t && ~cnt[t]; t = fail[t]) {
ans += cnt[t], cnt[t] = -1;
}
}
return ans;
}
由于每一个串只能匹配一次，所以这里采用的清空的策略。并且标记清空，以免重复搜索。
失配树的应用
就拿模板题来说吧：【模板】AC 自动机（二次加强版） - 洛谷
他是要求所有字串的出现情况。
那么，我们先把每一个到达的状态计数。再通过 fail 指针向上跳求和。
但毕竟不能每一个节点都暴力跳，所以考虑在 fail 树上求和。
但是，我们不是有一个 q 来 BFS 吗？其中的 fail 是有序的：对于一个节点 x，其 fail 一定在 x 之前被遍历到。
所以我们直接使用 q 即可。
那么合起来大概也就是这样：
inline void ACMatch(string &s) {
int p(0);
for (char c : s) {
p = kids[p][c - 'a'];
++cnt[p];
}
}
inline void ACCount(int * q) {
for (int i = usage; i; --i) {
cnt[fail[q[i]]] += cnt[q[i]];
}
}
但是每一个特定的字串出现的次数呢？
在插入时记住字串对应的节点，输出即可。
void insert(string &s, int i) {
int p(0);
for (int c : s) {
if (!kids[p][(c -= 'a')]) kids[p][c] = newNode();
p = kids[p][c];
}
pos[i] = p;
}
inline void ACOutput(int n) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout << cnt[pos[i]] << '\n';
}
}
有这么一道题：
很明显，对于每一个位置，我们需要清理能匹配到的最长长度，所以我们需要预处理出最长长度：
inline void ACprepare(int * q) {
for (int i = 1; i <= usage; ++i) {
len[q[i]] = max(len[q[i]], len[fail[q[i]]]);
}
}
在清理时：
inline void ACclean(string &s) {
int p(0);
for (unsigned i(0), ie = s.size(); i < ie; ++i) {
p = kids[p][discrete(s[i])];
if (len[p]) for (unsigned j = i - len[p] + 1; j <= i; ++j)
s[j] = '*';
}
}
由于是引用的字符串，所以可以直接修改。
对状态的理解
在我们考试的时候有这么一道题：
这道题说难也难，说不难也不难。主要是看对于 AC自动机 状态转移的理解到不到位。
在匹配过程中，如果匹配到了出现的 w，那么就要回到 len(w) 个状态前，继续匹配下一个字符。
很明显，需要用栈，并且由于需要一次弹出多个，所以最好用手写的栈。
核心代码如下：
string sub, pat;
cin >> sub >> pat;
insert(sub), procFail(Q);
int p = 0;
for (int i(0), ie = pat.size(); i < ie; ++i) {
p = kids[cps[ci]][pat[i] - 'a'];
cps[++ci] = p, ccs[ci] = pat[i];
if (match[p]) ci -= sub.size();
}
for (int i = 1; i <= ci; ++i) {
putchar(ccs[i]);
}
这里没有用到
fail，那么为什么还要构建失配树？这是个好问题，因为，构建失配树的过程不仅仅构建了失配树，同时还令节点继承了其
fail的子节点，所以需要构建的过程。
最后附上模板题【模板】AC 自动机（二次加强版） - 洛谷的代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 7;
int res[N], cnt[N], pos[N];
class ACAutomaton {
private:
int kids[N][26];
int fail[N], id[N], usage;
public:
ACAutomaton() : usage(0) {
}
inline int newNode() {
fill_n(kids[++usage], 26, 0);
cnt[usage] = fail[usage] = id[usage] = 0;
return usage;
}
void insert(string &s, int i) {
int p(0);
for (int c : s) {
if (!kids[p][(c -= 'a')]) kids[p][c] = newNode();
p = kids[p][c];
}
pos[i] = p;
}
void procFail(int * q) {
int head(0), tail(0);
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[0][i])
fail[kids[0][i]] = 0, q[tail++] = kids[0][i];
}
while (head ^ tail) {
int x = q[head++];
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[x][i]) {
fail[kids[x][i]] = kids[fail[x]][i];
q[tail++] = kids[x][i];
} else kids[x][i] = kids[fail[x]][i];
}
} // procFail end
}
void debug() {
for (int i = 0; i <= usage; ++i) {
printf("node %d (cnt %d) fail to %d:\n\t", i, cnt[i], fail[i]);
for (int j(0); j < 26; ++j) {
printf("%d ", kids[i][j]);
} puts("");
}
}
inline void ACMatch(string &s) {
int p(0);
for (char c : s) {
p = kids[p][c - 'a'];
++cnt[p];
}
}
inline void ACCount(int * q) {
for (int i = usage; i; --i) {
cnt[fail[q[i]]] += cnt[q[i]];
}
}
inline void ACOutput(int n) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout << cnt[pos[i]] << '\n';
}
}
void clear() {
usage = -1;
newNode(); // clear 0
}
} ac;
int Q[N];
string s;
int main() {
cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> s;
ac.insert(s, i);
} ac.procFail(Q);
cin >> s;
ac.ACMatch(s);
ac.ACCount(Q);
ac.ACOutput(n);
return 0;
}
差不多了……下课