差分约束学习笔记

2023.5.6 写的太烂了重新写

差分约束系统

定义

差分约束系统是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组，它包含 \(n\) 个变量 \(x_{1},x_{2},...,x_{n}\) 以及 \(m\) 个约束条件，每一个约束条件都是两个其中的变量做差构成的，形如 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\)，其中 \(1\le i,j\le n,i\ne j,1\le k\le m\) 并且 \(c_{k}\) 是常数（可以为正数或非正数）。
------- OI Wiki

通俗一点讲，这类问题都是给定 \(n\) 个变量，\(m\) 个限制，类似于：

\[\left\{\begin{matrix} op_{1}:x_{1}-x_{2}=c_{1}\\ op_{2}:x_{4}-x_{n}=c_{2}\\ ......\\ op_{m}:x_{n}-x_{3}=c_{m} \end{matrix}\right. \]

有了这些条件，一般的题目会让你求出一组合法的解，也就是求这 \(n\) 个变量的合法的值。

过程

我们可以建一个超级源点，然后向每一个点连一条边权为 \(0\) 的边，然后跑单源最短路；而上面的 \(m\) 个限制都可以变形为 \(x_{i}\le x_{j}+c_{k}\)，这个东西很容易想到我们在跑最短路的时候的松弛操作里的 \(dis[v]\le dis[u]+w\)，因此我们就可以把每一个变量看作是一个图中的点，对于每一个条件 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\)，从 \(j\) 向 \(i\) 连一条边权为 \(c_{k}\) 的有向边。

我们在求解的时候一般用 SPFA 来跑，虽然他最坏的时间复杂度是 \(O(nm)\) 的，但是我们的差分约束里面要是有负环的话，就说明是无解，再加上有负边权，SPFA 这个已死的算法成了最好的方法，更何况他在一些随机的图中跑的飞快。

最后一个问题，最后转化的式子是 \(x_{i}\le x_{j}+c_{k}\)，为什么跑最短路？

但是我觉得，当你建图的时候使用的是 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\) 形式的方程组建图时，即 \(j\) 向 \(i\) 连一条权值为 \(c_{k}\) 的边，应该选择跑最短路。

如果使用的是 \(x_{i}-s_{j}\ge c_{k}\) 形式的方程组来建图时，应该选择跑最长路。

P5960 【模板】差分约束算法

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 50100
using namespace std;
int n,m,cnt,head[N];
queue<int>q;
struct SB{int w,v,next;}e[N<<1];
int dis[N],tot[N],vis[N];
inline void add(int u,int v,int w)
{
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
int SPFA()
{
	
	q.push(0);
	vis[0]=1;
	tot[0]++;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].v,w=e[i].w;
			if(dis[v]>dis[u]+w)
			{
				dis[v]=dis[u]+w;
				q.push(v);
				vis[v]=1;
				tot[v]++;
				if(tot[v]==n+1)
				return 0;
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  dis[i]=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  add(0,i,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		add(y,x,z);
	}
	if(!SPFA())
	  cout<<"NO"<<endl;
	else
	  for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<dis[i]<<" ";
	return 0;
}