「学习笔记」容斥原理

引入

\(A_1\)：学语文的人， \(A_2\)：学数学的人，\(A_3\)：学英语的人，\(A_4\)：学 OI 的人

\(A_1 \cap A_2\)：同时学语数的人

\(A_1 \cup A_2\)：学语文或数学的人

\(\left | A_1 \cup A_2 \right | = \left | A_1 \right | + \left | A_2 \right | - \left | A_1 \cap A_2 \right |\)

\(\left | A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right | = \left | A_1 \right | + \left | A_2 \right | + \left | A_3 \right | - \left | A_1 \cap A_2 \right | - \left | A_1 \cap A_3 \right | - \left | A_2 \cap A_3 \right | + \left | A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right |\)

\(\left | A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \right | = \left | A_1 \right | + \left | A_2 \right | + \left | A_3 \right | + \left | A_4 \right |\\ - \left | A_1 \cap A_2 \right | - \left | A_1 \cap A_3 \right | - \left | A_2 \cap A_3 \right | - \left | A_1 \cap A_4 \right | - \left | A_2 \cap A_4 \right | - \left | A_3 \cap A_4 \right | \\+ \left | A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right | + \left | A_1 \cap A_2 \cap A_4 \right | + \left | A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right | \\- \left | A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right |\)

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我总结了一句话

容斥原理，就是总共的减去重复的加上缺失的。

容斥原理的一般式

\[\sum_{b \subseteq \left \lbrace A_1, A_2, \cdots, A_n \right \rbrace } (-1) ^ {\left| B \right | + 1} \cdot \left | \bigcap_{a_i \in B}A_i \right | \]

问题

有 \(n\) 对夫妻坐成一圈，每对夫妻不能坐在一起，问方案数。

总的方案数为 \(\dfrac{2n!}{2n} = (2n - 1)!\)
我们将夫妻绑定在一起，这样，这对夫妻可以看作是一个人。
来计算不合法方案数：
一对夫妻坐在一起时，方案数为 \((2n - 2)!\)，在 \(n\) 对夫妻中选一堆绑定，并且夫妻之间也有坐的顺序，因此一对夫妻坐在一起的非法方案数为 \(2 \cdot C(n, 1) \cdot (2n - 2)!\)。
但是，在这一对夫妻坐在一起的方案数中，包含了两对夫妻坐在一起、三对夫妻坐在一起的情况，因此，有重复计算的，两对夫妻坐在一起被计算了两次，三对夫妻坐在一起被计算了三次。
我们要减去两对夫妻坐在一起的情况的方案数，即 \(2^2 \cdot C(n, 2) \cdot (2n - 3)!\)，在这两对夫妻坐在一起的情况里，同样，也包含了三对夫妻坐在一起的情况，而这一减，三对夫妻坐在一起的方案数直接变为 \(0\) 了，因此我们需要再把他们加上。
由此，就能够看出有容斥的规律了，我们往后推，减去四对夫妻坐在一起的方案数，加上 \(5\) 对夫妻坐在一起的方案数。。。
因此，总的非法方案数就是 \(2 \cdot C(n, 1) \cdot (2n - 2)! - C(n, 2) \cdot (2n - 3)! \cdot 2^2 + C(n, 3) \cdot (2n - 4)! \cdot 2^3 \cdots\)
总的方案数减去非法方案数就是 \((2n - 1)! - 2 \cdot C(n, 1) \cdot (2n - 2)! + C(n, 2) \cdot (2n - 3)! \cdot 2^2 - C(n, 3) \cdot (2n - 4)! \cdot 2^3 \cdots\\\)
即

\[\sum_{i = 0}^n C(n, i) \cdot (2n - i - 1)! \cdot 2^i \cdot (-1) ^ i \]

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询问 \(1 - n\) 中有多少个数可以表示为 \(x^y\)，\(y > 1\) 的形式。\(\left (n \le 10^{18} \right )\)

由于 long long 的范围可知，可行的 \(y\) 小于等于 \(64\)。
在这 \(n\) 个数中，能表示成 \(x^2\) 的数有 \(\sqrt{n}\) 个，能表示成 \(x^3\) 的数有 \(\sqrt[3]{n}\) 个，能表示成 \(x^y\) 的数有 \(\sqrt[y]{n}\) 个。
但是，我们的答案就是 \(\sum_{i = 2}^{y}\sqrt[i]{n}\) 吗？
很明显，不是。
看一看这种情况，\(y^6 = (y^3)^2 = (y^2)^3\)，很明显，直接求和会有重复，因此，我们要减去重复的部分

cin >> n;
for (int a = 2; a <= 64; ++ a) {
    num[a] = 0;
// num[a] 代表 x^a 这种形式的数被算了几次
}
for (int a = 2; a <= 64; ++ a) { // 算 x^a 这种形式的数有多少个
    ll v = floor(pow(n, (long double)1.0 / a)) - 1;
//  ll v = (ll)floor(exp(log(n) / a)) - 1;
    int d = 1 - num[a];
    ans += v * d;
    for (int b = a; b <= 64; b += a) {
        num[b] += d;
    }
}

代码解释

num[a] 代表 \(x^a\) 这种形式的数被算了几次，很明显，我们希望最后每个 num 都为 \(1\)，因此，我们需要加上少的或者减去多的。

int d = 1 - num[a];
ans += v * d;`

最后，我们再更新 num。

for (int b = a; b <= 64; b += a) {
	num[b] += d;
}

这段代码可以这么理解
假设我们计算 \(x^2\)，我们会算到 \(2^2、4^2、8^2 \cdots\)，我们可以将它们转化一下，即 \(2^2、2^4、2^6 \cdots\)，因此，只要是指数是二的倍数的形式的数，我们都能算到。

真题

[春季测试 2023] 幂次
这道题对于 pow 有精度要求，要用 long double，或者用 exp，否则最后一个点过不去。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n, k, ans;
ll num[70];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),	cout.tie(0);
	cin >> n >> k;
	for (int a = k; a <= 64; ++ a) {
		num[a] = 0;
	}
	for (int a = k; a <= 64; ++ a) {
		ll v = floor(pow(n, (long double)1.0 / a)) - 1;
//		ll v = (ll)floor(exp(log(n) / a)) - 1;
		ll d = 1 - num[a];
		ans += v * d;
		for (int b = a; b <= 64; b += a) {
			num[b] += d;
		}
	}
	cout << ans + 1 << '\n';
	return 0;
}