【技术积累】算法中的贪心算法【一】

贪心算法是什么

贪心算法是一种常见的算法思想，主要应用于优化问题中，特别是在计算机科学和运筹学领域中。贪心算法的核心思想是每一步都选择当前最好的选项，从而得到全局最优解。

贪心算法通常包括以下步骤：

1. 确定问题的最优子结构：即在问题中寻找那些可以自行解决的子问题。

2. 开始构建解决方案：从问题的初始状态开始，按照某种规则选择一个最优解，并将其添加到中间方案中。该步骤不断重复，直到找到全局最优解。

3. 判断可行性：为了确保得到一个全局最优解，需要在每个构建解决方案的步骤中，检查得到的局部最优解是否是可行的。如果当前的局部最优解无法满足问题的限制条件，则需要放弃此局部最优解，重新开始构建方案。

贪心算法的优点是输入数据越大，运行时间越短；同时，由于贪心算法的设计都是局部的最优决策，不是全局的最优决策，因此可能不会得到最优解，但通常会得到接近最优解的解决方案。

贪心算法适用于一些特殊的算法场景，如图论中的最小生成树算法、哈夫曼编码等。同时，在一些工业设计、物流计划及经济学领域中也有应用。

贪心算法需要注意的问题是不能保证一定得到全局最优解，有可能会导致次优解的出现。因此，在具体应用中，需要充分了解问题的性质，深入分析问题才能设计出较好的贪心算法。

旅行商问题

一个旅行商要拜访n个城市，求他走的最短路径。

解题思路：

1. 随意选择一个城市作为起点
2. 从该城市出发，依次经过还未访问的最近的城市
3. 计算路径长度，并记录已访问的城市
4. 重复步骤2-3，直到所有城市都被访问
5. 返回起点城市，路径长度即为最短路径

// cities为城市数量，dist为城市间距离矩阵
function TSP (cities, dist)
    visited = [false] * cities // 初始化所有城市未被访问
    current_city = 0 // 从城市0开始
    visited[current_city] = true // 标记当前城市为已访问
    path = [current_city] // 记录遍历路径
    total_distance = 0 // 路径总距离
    while true:
        if len(path) == cities: // 若所有城市都已访问过，则返回起点城市并计算路径总距离
            total_distance += dist[current_city][0] // 加上最后一个城市到起点城市的距离
            path.append(0)
            return path, total_distance
        next_city = -1 // 下一个要访问的城市
        min_distance = Inf // 到下一个城市路径的最小距离
        for i in range(cities):
            if not visited[i] and dist[current_city][i] < min_distance:
                next_city = i
                min_distance = dist[current_city][i]
        current_city = next_city // 更新当前城市
        visited[current_city] = true // 标记新城市为已访问
        path.append(current_city) // 记录经过的城市
        total_distance += min_distance // 累计最小距离

部分背包问题

有n个物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的价值和重量，求装入背包的物品的最大价值。

1.计算每个物品的性价比（价值/重量）。

2.将物品按性价比从高到低排序。

3.从性价比最高的物品开始，依次放入背包，直到背包装满或所有物品都放入背包。

function fractional_knapsack(n, item, C)
// n表示物品数量，item为物品数组，C为背包容量
for i from 1 to n do
item[i].ratio = item[i].value / item[i].weight
// 计算每个物品的性价比


sort item by decreasing ratio
// 将物品按性价比从高到低排序

total_value = 0
for i from 1 to n do
    if C >= item[i].weight then
        total_value += item[i].value
        C -= item[i].weight
        // 如果背包容量可以放下物品i，则将物品i完全放入背包
    else
        total_value += C * item[i].ratio
        break
        // 否则将物品i按比例分割，在背包中放入一部分
        // 直到背包装满或物品i全部放入

return total_value
// 返回装入背包的物品的最大价值

区间调度问题

给定n个区间，求用尽可能少的区间覆盖整个区间的最大数量。

1. 首先按照区间结束时间的顺序将所有区间排序（从小到大），设排序后的区间序列为intervals。
2. 初始化变量end为区间intervals[0]的结束时间，计数器count为1，表示第一个区间一定要选。
3. 遍历排序后的区间序列intervals，如果当前区间的开始时间大于等于end，则选择该区间，将end更新为该区间的结束时间，计数器count加1。
4. 最后输出计数器count即为最大数量。

sort(intervals) // 对区间按照结束时间进行排序
end = intervals[0].end // 初始化end为第一个区间的结束时间
count = 1 // 初始化计数器count为1
for i in range(1, intervals.size()):
if intervals[i].start >= end:
count += 1
end = intervals[i].end
print(count) // 输出最大数量

最小罚款问题

某市道路有n个路口需要维修，第i个路口在时间ti - li到ti + li之间维修，若在该时段经过会被罚款wi。求如何安排维修时间，使得罚款总额最小。

1. 将每个路口按照维修起始时间递增排序
2. 遍历所有路口，维护一个区间集合，表示当前需要维修的路口时间段
3. 对于每个路口，如果它的维修时间段与当前区间集合存在交集，则将交集部分取出，并且计算该部分的罚款总额
4. 将该路口的维修时间段加入当前区间集合，维护集合的增序，重复步骤3，直至处理完所有路口

# 将每个路口按照维修起始时间递增排序
sorted_intervals = sorted(intervals, key=lambda x: x[0])

# 初始：空集合 s，罚款总额 total = 0
s = set()
total = 0

# 遍历所有路口
for interval in sorted_intervals:
    # 维修时间段 [ti-li, ti+li] 表示为区间 [l,r]
    l, r, w = interval

    # 逐个处理当前区间集合中的所有区间
    remove_intervals = set()
    for i in s:
        # 计算 区间 interval 与 i 的交集
        a, b = max(l, i[0]), min(r, i[1])
        if a <= b:
            # 将交集 [a,b] 内的路口从集合 s 中删除
            remove_intervals.add(i)
            # 将交集内的罚款总额加入 total
            total += w * (b - a + 1)

    # 从集合 s 中删除所有交集区间
    s -= remove_intervals
    # 将区间 [l,r] 加入集合 s
    s.add((l, r))

# 对于集合 s 中所有区间，以左端点为第一关键字，右端点为第二关键字进行排序
s = sorted(s, key=lambda x: (x[0], x[1]))

# 返回罚款总额
return total

跳跃游戏

给定一个数组，数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度，求是否可以到达最后一个元素。

1. 记录一个变量max_reach表示当前所能到达的最远距离，初始值为第一个元素的距离。

2. 对数组从第二个元素开始遍历： a. 如果当前位置超出了max_reach的范围，则说明无法到达最后一个元素，返回false。 b. 否则，将当前位置能到达的最远距离和max_reach取最大值，更新max_reach。

3. 遍历结束后，如果max_reach能够到达最后一个元素，则返回true；否则，返回false。

function canJump(nums) {
    let max_reach = nums[0];
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (i > max_reach) {
            return false;
        }
        max_reach = Math.max(max_reach, i + nums[i]);
    }
    return max_reach >= nums.length - 1;
}

化学物质混合问题

有n种化学物质，需要混合制成一种新的化学物质，各种化学物质有自己的份量和价格，求最小的制作成本。

1. 首先将各种化学物质按价格从小到大排序。

2. 然后从价格最低的化学物质开始，依次按其份量的比例将其混合到目标物质中。

3. 如果已混入的各种化学物质份量之和等于目标物质的总份量，则制作完成；否则继续将价格次低的化学物质混入。

4. 直到制作完成或者所有化学物质都已混入为止。

// 输入:
// chemicals: 化学物质数组，包括每种物质的份量和价格
// target_amount: 目标物质的总份量
// 注：代码中的by_price为排序关键字，需要根据具体实现进行定义。


function mixedChemicals(chemicals[], target_amount):
  // 按价格从小到大排序
  sort(chemicals, by_price)

  i = 0 // 当前混入的化学物质下标
  total = 0 // 已混入的各种化学物质总份量之和
  cost = 0 // 制作成本

  // 按比例依次混入各种化学物质
  while (total < target_amount) and (i < len(chemicals)):
    // 每次混入化学物质的份量
    amount = min(target_amount - total, chemicals[i].amount)
    // 每次混入的成本
    unit_cost = chemicals[i].price / chemicals[i].amount
    // 更新总成本
    cost += amount * unit_cost
    // 更新已混入的总份量
    total += amount
    // 更新当前混入的化学物质下标
    i += 1

  // 判断是否制作成功
  if total == target_amount:
    return cost
  else:
    return '制作失败'

资源分配问题

1. 给定n个资源和m个任务，每个任务需要一定量的资源，其中一些任务是必须完成的，如何分配资源使得完成必须任务的代价最小。
2. 将所有任务按是否为必须任务分成两组：必须完成的任务和非必须任务。
3. 对必须完成的任务按照所需资源从大到小排序。
4. 从资源数最大的必须任务开始，依次分配资源，直到分配完毕或无法完成必须任务。
5. 对剩余的非必须任务按照所需资源从大到小排序。
6. 依次给非必须任务分配资源，直到分配完毕或无法完成任务。

//将所有任务按是否为必须任务分成两组：必须完成的任务和非必须任务。
for each task:
if task is mandatory:
add task to mandatory_tasks
else:
add task to optional_tasks



//对必须完成的任务按照所需资源从大到小排序。
sort(mandatory_tasks, by resource needed, descending)



//从资源数最大的必须任务开始，依次分配资源，直到分配完毕或无法完成必须任务。
for each task in mandatory_tasks:
if task can be completed:
allocate resources to task
else:
break



//对剩余的非必须任务按照所需资源从大到小排序。
sort(optional_tasks, by resource needed, descending)



//依次给非必须任务分配资源，直到分配完毕或无法完成任务。
for each task in optional_tasks:
if task can be completed:
allocate resources to task
else:
break