【技术积累】算法中的回溯算法【一】
回溯算法是什么
回溯算法是一种用于求解在某个搜索空间中的问题的算法。它基本思想是从问题的某一种状态开始不断地尝试各种可能的选择，直到找到一种满足问题要求的解或者发现这些选择都无法满足要求时，就回到上一个状态，尝试其他的选择。
回溯算法通常采用递归的方法实现，它会不断地递归调用自身，同时通过参数来模拟每一种选择的结果，并在递归返回时撤销这种选择，继续寻找其他可能的选择。
回溯算法通常用于求解组合问题、排列问题、选择问题等，例如求解 n 皇后问题、数独问题等。在实际应用中，回溯算法往往需要通过一些优化方法来减少搜索空间，以达到更高的效率和更快的求解速度。
回溯算法的应用场景有哪些
回溯算法的应用场景包括但不限于：
-
生成排列和组合问题，如全排列、组合问题等。
-
解决搜索问题，如图的遍历、迷宫问题等。
-
解决约束条件满足问题，如数独、八皇后、数塔问题等。
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解决最优化问题，如背包问题、旅行商问题等。
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解决字符串匹配问题，如正则表达式匹配、通配符匹配等。
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解决人工智能领域的问题，如游戏博弈、机器学习等。
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解决决策问题，如规划和调度问题等。
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解决网络流问题。
总之，回溯算法可以解决许多复杂的问题，在实际应用中具有广泛的应用
回溯算法的优点和缺点是什么
回溯算法的优点：
- 适用范围广：回溯算法可以解决很多问题，如搜索、排列组合、八皇后、数独等。
- 算法思路简单：回溯算法的思路简单，易于理解和实现。
- 可以找到所有解：回溯算法可以找到所有的解，不会漏掉任何一个解。
回溯算法的缺点：
- 时间复杂度高：回溯算法的时间复杂度很高，因为它需要遍历所有的解空间，搜索时间可能会很长。
- 空间复杂度高：回溯算法的空间复杂度也很高，因为它需要维护一个状态树，存储所有的状态和路径。
- 可能会陷入死循环：如果回溯算法没有正确地剪枝，可能会陷入死循环，导致程序无法结束。
回溯算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？
回溯算法的时间复杂度和空间复杂度都与问题规模和决策树的分支情况有关。
时间复杂度： 在最坏情况下，回溯算法需要遍历整个决策树，即每个节点都需要访问一次，所以时间复杂度为O(b^d)，其中b是分支因子，d是决策树的深度。因此，回溯算法的时间复杂度通常比较高，在面对大规模问题时可能需要较长时间。
空间复杂度： 在回溯算法中，需要维护一个候选解的状态，通常使用递归调用栈来实现。因此，空间复杂度也与决策树的深度相关。在最坏情况下，决策树的深度与问题规模成正比，因此空间复杂度为O(d)，其中d为决策树的深度。如果在实现回溯算法时没有使用递归，可以使用循环和栈来代替递归调用栈，这样可以避免递归调用栈导致的空间限制，但是实现起来相对复杂。
回溯算法解决八皇后问题
八皇后问题是计算机科学中的经典问题，涉及将八个皇后放置在一个8x8的棋盘上，以使没有两个皇后相互威胁。这意味着不能将两个皇后放在同一行、列或对角线上。
- 定义问题：八皇后问题涉及将八个皇后放置在一个8x8的棋盘上，以使没有两个皇后相互威胁。
- 创建棋盘：创建一个8x8的棋盘并将所有方格初始化为0。
- 放置皇后：从第一列开始，在第一行放置一个皇后。
- 检查冲突：检查皇后是否与棋盘上的任何其他皇后发生冲突。如果存在冲突，则将皇后移到同一列中的下一行。
- 重复步骤3和4：继续在每一列中放置皇后并检查冲突，直到所有皇后都放置在棋盘上。
- 回溯：如果在列中没有有效的皇后位置，则回溯到上一列并将皇后移到该列的下一行。重复此过程，直到找到有效的解决方案。
function solveEightQueens(board, col):
if col >= 8:
return true
for row in range(0, 8):
if isSafe(board, row, col):
board[row][col] = 1
if solveEightQueens(board, col+1):
return true
board[row][col] = 0
return false
function isSafe(board, row, col):
for i in range(0, col):
if board[row][i] == 1:
return false
for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, -1, -1)):
if board[i][j] == 1:
return false
for i, j in zip(range(row, 8, 1), range(col, -1, -1)):
if board[i][j] == 1:
return false
return true
// initialize board to all 0's
board = [[0 for x in range(8)] for y in range(8)]
// solve the problem
solveEightQueens(board, 0)回溯算法解决数独问题
数独是一个9x9的网格，被分成9个小的3x3的网格。目标是填充网格，使每行、每列和每个3x3网格都包含1到9的数字，且没有重复。
- 从一个空的数独网格开始。
- 在网格中找到一个空的单元格。
- 尝试在该单元格中放置1到9的所有数字。
- 如果数字有效（即不违反任何数独规则），则移动到下一个空的单元格并重复步骤3。
- 如果数字无效，则尝试下一个数字。
- 如果所有数字都已尝试且没有一个有效，则回溯到上一个单元格并尝试下一个数字。
- 重复步骤3到6，直到整个网格都被填满。
function solveSudoku(grid):
for i in range(9):
for j in range(9):
if grid[i][j] == 0:
for k in range(1, 10):
if isValid(grid, i, j, k):
grid[i][j] = k
if solveSudoku(grid):
return True
grid[i][j] = 0
return False
return True
function isValid(grid, row, col, num):
for i in range(9):
if grid[row][i] == num:
return False
if grid[i][col] == num:
return False
if grid[3 * (row // 3) + i // 3][3 * (col // 3) + i % 3] == num:
return False
return TruesolveSudoku函数接受一个9x9的网格作为输入，并在数独可解时返回True，否则返回False。它使用嵌套循环来迭代网格中的所有单元格。如果一个单元格为空（即其值为0），它使用另一个循环尝试在该单元格中放置1到9的所有数字。如果数字有效（即不违反任何数独规则），则移动到下一个空的单元格并重复该过程。如果数字无效，则尝试下一个数字。如果所有数字都已尝试且没有一个有效，则回溯到上一个单元格并尝试下一个数字。isValid函数通过检查数字是否违反任何数独规则（即是否已经存在于同一行、列或3x3网格中）来检查数字是否有效。
回溯算法解决全排列问题
给定一个数字序列，要求输出所有可能的排列组合。
- 定义一个递归函数，用于生成所有可能的排列组合。
- 在递归函数中，先判断当前生成的排列是否已经包含了所有数字，如果是，则输出当前排列并返回。
- 如果当前排列还没有包含所有数字，就从剩余的数字中选择一个，加入当前排列中，并继续递归生成下一个数字的排列。
- 在递归完成后，需要将加入的数字从当前排列中移除，以便继续生成其他排列组合。
function backtrack(nums, path, res):
if len(path) == len(nums):
res.append(path)
return
for num in nums:
if num not in path:
path.append(num)
backtrack(nums, path[:], res)
path.pop()backtrack函数接受三个参数：nums表示给定的数字序列，path表示当前生成的排列，res表示所有可能的排列组合。在函数中，首先判断当前生成的排列是否已经包含了所有数字，如果是，则将当前排列加入结果集中并返回。如果当前排列还没有包含所有数字，就从剩余的数字中选择一个，加入当前排列中，并继续递归生成下一个数字的排列。在递归完成后，需要将加入的数字从当前排列中移除，以便继续生成其他排列组合。
回溯算法解决组合问题
给定一个数组和一个目标值，从数组中选取元素使得它们的和等于目标值。
- 定义一个递归函数，用于生成所有可能的组合。
- 在递归函数中，先判断当前组合的元素和是否等于目标值，如果是，则输出当前组合并返回。
- 如果当前组合的元素和小于目标值，就从剩余的元素中选择一个，加入当前组合中，并继续递归生成下一个元素的组合。
- 在递归完成后，需要将加入的元素从当前组合中移除，以便继续生成其他组合。
function backtrack(nums, target, start, path, res):
if sum(path) == target:
res.append(path)
return
for i in range(start, len(nums)):
if sum(path) + nums[i] > target:
continue
path.append(nums[i])
backtrack(nums, target, i, path[:], res)
path.pop()backtrack函数接受五个参数：nums表示给定的数组，target表示目标值，start表示当前开始选择的位置，path表示当前生成的组合，res表示所有可能的组合。在函数中，首先判断当前组合的元素和是否等于目标值，如果是，则将当前组合加入结果集中并返回。如果当前组合的元素和小于目标值，就从剩余的元素中选择一个，加入当前组合中，并继续递归生成下一个元素的组合。在递归完成后，需要将加入的元素从当前组合中移除，以便继续生成其他组合。
回溯算法解决单词搜索问题
在一个二维字符数组中查找给定单词是否存在。
- 定义一个递归函数，用于生成所有可能的路径。
- 在递归函数中，先判断当前位置是否为单词的最后一个字符，如果是，则返回True。
- 如果当前位置不是单词的最后一个字符，则从当前位置向四周扩展，如果扩展的位置是合法的并且没有走过，则将该位置加入当前路径中，并继续递归生成下一个位置的路径。
- 在递归完成后，需要将加入的位置从当前路径中移除，以便继续生成其他路径。
- 如果所有路径都生成完毕，仍未找到单词，则返回False。
function backtrack(board, word, row, col, path):
if len(path) == len(word):
return True
if row < 0 or row >= len(board) or col < 0 or col >= len(board[0]) or board[row][col] != word[len(path)]:
return False
temp = board[row][col]
board[row][col] = "#"
res = backtrack(board, word, row + 1, col, path + [(row, col)]) or backtrack(board, word, row - 1, col, path + [(row, col)]) or backtrack(board, word, row, col + 1, path + [(row, col)]) or backtrack(board, word, row, col - 1, path + [(row, col)])
board[row][col] = temp
return res
def exist(board, word):
for i in range(len(board)):
for j in range(len(board[0])):
if backtrack(board, word, i, j, []):
return True
return Falsebacktrack函数接受四个参数：
- board表示给定的二维字符数组
- word表示要查找的单词
- row和col表示当前位置的行列坐标
- path表示当前生成的路径。
在函数中，首先判断当前位置是否为单词的最后一个字符，如果是，则返回True。
如果当前位置不是单词的最后一个字符，则从当前位置向四周扩展，如果扩展的位置是合法的并且没有走过，则将该位置加入当前路径中，并继续递归生成下一个位置的路径。
在递归完成后，需要将加入的位置从当前路径中移除，以便继续生成其他路径。如果所有路径都生成完毕，仍未找到单词，则返回False。
exist函数接受两个参数：
- board表示给定的二维字符数组
- word表示要查找的单词。
在函数中，遍历二维字符数组中的每一个位置，如果从该位置开始可以找到单词，则返回True。
如果遍历完整个二维字符数组，仍未找到单词，则返回False。