【深度学习01】线性回归+PyTorch实现

1. 线性回归

1.1 线性模型

    当输入包含d个特征，预测结果表示为：

　　　　 

    记x为样本的特征向量，w为权重向量，上式可表示为：

　　　　

    对于含有n个样本的数据集，可用X来表示n个样本的特征集合，其中行代表样本，列代表特征，那么预测值可用矩阵乘法表示为：

　　　　

    给定训练数据特征X和对应的已知标签y，线性回归的?标是找到?组权重向量w和偏置b：当给定从X的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

1.2 损失函数（loss function）

    损失函数又称代价函数（cost function），通常用其来度量目标的实际值和预测值之间的误差。在回归问题中，常用的损失函数为平方误差函数：

　　　　

　　　　 

    我们的目标便是求得最小化损失函数下参数w和b的值：

　　　　   

    求解上式，一般有以下两种方式：

    1> 正规方程（解析解）

　　　　

    2> 梯度下降（gradient descent）

    （1）初始化模型参数的值，如随机初始化；

    （2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

　　　　

    上式中：n表示每个小批量中的样本数，也称批量大小（batch size）、α表示学习率（learning rate），n和α的值需要手动预先指定，而不是模型训练得到的，这类参数称为超参数（hyperparameter），选择超参数的过程称为调参（hyperparameter tuning)。

    梯度下降和正规方程比较：

　

1.3 矢量化加速

    为了加快模型训练速度，可以采用矢量化计算的方式，这通常会带来数量级的加速。下边用代码简单对比测试下矢量化计算的加速效果。

import mathimport timeimport numpy as npimport torchfrom d2l import torch as d2l# a、b是全为1的10000维向量n = 10000a = torch.ones(n)b = torch.ones(n)class Timer:    def __init__(self):        """记录多次运行时间"""        self.tik = None        self.times = []        self.start()    def start(self):        """启动计时器"""        self.tik = time.time()    def stop(self):        """停止计时器并将时间记录在列表中"""        self.times.append(time.time() - self.tik)        return self.times[-1]    def avg(self):        """返回平均时间"""        return sum(self.times) / len(self.times)    def sum(self):        """返回总时间"""        return sum(self.times)    def cumsum(self):        """返回总时间"""        return np.array(self.times).cumsum().tolist()c = torch.zeros(n)timer = Timer()for i in range(n):    c[i] = a[i] + b[i]print(f'{timer.stop():.5f} sec')timer.start()d = a + bprint(f'{timer.stop():.5f} sec')　　

    代码运行结果如下，可见矢量化代码确实极大的提高了计算速度。

    注：这里矢量化计算d=a+b的时间不知道为什么统计出来是0，可能是跟电脑的计时器精度有关。

2. 从零实现线性回归

    线性回归的实现过程可以简单总结为以下几个步骤：

    （1）读取数据（或构造数据），转换成需要的格式和类型，并生成标签 ；

    （2）定义初始化模型参数、定义模型、定义损失函数、定义优化算法；

    （3）使用优化算法训练模型。

import randomimport torchimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltfrom d2l import torch as d2l# 构造数据集def synthetic_data(w, b, num_examples):    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""    # 均值为0，方差为1的随机数，行数为样本数，列数是w的长度(行代表样本，列代表特征）    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))  # pytorch较新版本    # X = torch.tensor(np.random.normal(0, 1, (num_examples, len(w))), dtype=torch.float32)  # pytorch1.1.0版本    y = torch.matmul(X, w) + b    # 均值为0，方差为1的随机数，噪声项。    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)  # pytorch较新版本    # y += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, y.shape), dtype=torch.float32)  # pytorch1.1.0版本    return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])true_b = 4.2features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)print('features:', features[0], '\nlabel:', labels[0])d2l.set_figsize()d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1)# 生成一个data_iter函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量def data_iter(batch_size, features, labels):    num_examples = len(features)    indices = list(range(num_examples))    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序    random.shuffle(indices)    for i in range(0, num_examples, batch_size):        batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i+batch_size, num_examples)])        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]batch_size = 10for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):    print(X, '\n', y)    break# 定义初始化模型参数w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)  # pytorch较新版本# w = torch.autograd.Variable(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(2, 1)),#                                          dtype=torch.float32), requires_grad=True)  # pytorch1.1.0版本b = torch.zeros(1, requires_grad=True)# 定义模型def linreg(X, w, b):    """线性回归模型。"""    return torch.matmul(X, w) + b# 定义损失函数def squared_loss(y_hat, y):    """均方损失。"""    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2# 定义优化算法def sgd(params, lr, batch_size):    """小批量随机梯度下降"""    with torch.no_grad():        for param in params:            param -= lr * param.grad / batch_size            param.grad.zero_()# 训练过程lr = 0.03num_epochs = 3net = linregloss = squared_lossfor epoch in range(num_epochs):    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失        # 因为l形状是（batch_size, 1），而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起并以此来计算关于[w, b]的梯度        l.sum().backward()        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数    with torch.no_grad():        train_l = loss(net(features, w, b), labels)        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')print(f'w的估计误差：{true_w - w.reshape(true_w.shape)}')print(f'b的估计误差：{true_b - b}')　

3. 使用深度学习框架（PyTorch）实现线性回归

    使用PyTorch封装的高级API可以快速高效的实现线性回归

import numpy as npimport torchfrom torch import nn  # 'nn'是神经网路的缩写from torch.utils import datafrom d2l import torch as d2l# 构造数据集def synthetic_data(w, b, num_examples):    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""    # 均值为0，方差为1的随机数，行数为样本数，列数是w的长度(行代表样本，列代表特征）    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))  # pytorch较新版本    # X = torch.tensor(np.random.normal(0, 1, (num_examples, len(w))), dtype=torch.float32)  # pytorch1.1.0版本    y = torch.matmul(X, w) + b    # 均值为0，方差为1的随机数，噪声项。    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)  # pytorch较新版本    # y += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, y.shape), dtype=torch.float32)  # pytorch1.1.0版本    return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])true_b = 4.2features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)d2l.set_figsize()d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1)# 调用框架中现有的API来读取数据def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):    """构造一个PyTorch数据迭代器"""    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)batch_size = 10data_iter = load_array((features, labels), batch_size)print(next(iter(data_iter)))# 使用框架预定义好的层net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))# 初始化模型参数（等价于前边手动实现w、b以及network的方式）net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)  # 使用正态分布替换掉w的值net[0].bias.data.fill_(0)# 计算均方误差使用MSELoss类，也称为平方L2范数loss = nn.MSELoss()# 实例化SGD实例trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)# 训练num_epochs = 3  # 迭代三个周期for epoch in range(num_epochs):    for X, y in data_iter:        l = loss(net(X), y)        trainer.zero_grad()  # 优化器，先将梯度清零        l.backward()        trainer.step()  # 模型更新    l = loss(net(features), labels)    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')w = net[0].weight.dataprint('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))b = net[0].bias.dataprint('b的估计误差：', true_b - b)

4. 报错总结

1. torch.normal()报错，这个是由于PyTorch版本问题，torch.normal()函数的参数形式和用法有所变化。

    要生成均值为0且方差为1的随机数，pytorch1.1.0和pytorch1.9.0可以分别采用以下形式：

# pytorch1.9.0 X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))    # pytorch1.1.0（也适用于高版本） X = torch.tensor(np.random.normal(0, 1, (num_examples, len(w))), dtype=torch.float32)

2. d2l库安装报错。这个我在公司电脑上直接一行pip install d2l成功安装，回家换自己电脑，各种报错。解决之后发现大多都是找不到安装源、缺少相关库或者库版本不兼容的问题。

    安装方式：conda install d2l 或 pip install d2l。网速太慢下不下来可以选择国内源镜像：

pip install d2l -i http://pypi.douban.com/simple/ --trusted-host pypi.douban.com

    国内常用源镜像：

# 清华：https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple# 阿里云：http://mirrors.aliyun.com/pypi/simple/# 中国科技大学 https://pypi.mirrors.ustc.edu.cn/simple/# 华中理工大学：http://pypi.hustunique.com/# 山东理工大学：http://pypi.sdutlinux.org/# 豆瓣：http://pypi.douban.com/simple/ 

    需要注意的是：有时候使用conda install d2l命令无法下载，改为pip 命令后即可下载成功。这是因为有些包只能通过pip安装。Anaconda提供超过1,500个软件包，包括最流行的数据科学、机器学习和AI框架，这与PyPI上提供的150,000多个软件包相比，只是一小部分。

    Python官方安装whl包和tar.gz包安装方法：

    安装whl包：pip install wheel，pip install xxx.whl

    安装tar.gz包：cd到解压后路径，python setup.py install

 

参考资料

[1] Python错误笔记（2）之Pytorch的torch.normal()函数

[2] 动手学深度学习 李沐