动机：二叉查找树的操作实践复杂度由树高度决定，所以希望控制树高，左右子树尽可能平衡。
平衡二叉树（AVL树）：称一棵二叉查找树为高度平衡树，当且仅当或由单一外结点组成，或由两个子树形 Ta 和 Tb 组成，并且满足：
即：每个结点的左子树和右子树的高度最多差 1 的 二叉查找树。
设 T 为高度平衡树中结点 q 的平衡系数为 q 的右子树高度减去左子树高度
高度平衡树所以结点的平衡系数只可能为：-1, 0, 1
1?? key：关键字的值
2?? value：关键字的存储信息
3?? height：树的高度（只有一个结点的树的高度为 1）
4?? left：左子树根结点的的引用
5?? right：右子树根结点的引用
class AVLNode<K extends Comparable<K>, V> { public K key; public V value; public int height; public AVLNode<K, V> left; public AVLNode<K, V> right; public AVLNode(K key, V value, int height) { this.key = key; this.value = value; this.height = height; }}同二叉查找树的查找算法：【数据结构与算法】手撕二叉查找树
AVL 树是一种二叉查找树，故可以使用二叉查找树的插入方法插入结点，但插入一个新结点时，有可能破坏 AVL 树的平衡性。
如果发生这种情况，就需要在插入结点后对平衡树进行调整，恢复平衡的性质。实现这种调整的操作称为“旋转”。
在插入一个新结点 X 后，应调整失去平衡的最小子树，即从插入点到根的路径向上找第一个不平衡结点 A。
平衡因子：该结点的左子树高度和右子树高度的差值。如果差值的绝对值小于等于 1，则说明该结点平衡，如果差值的绝对值为 2（不会出现其他情况），则说明该结点不平衡，需要做平衡处理。
造成结点 A 不平衡的的原因以及调整方式有以下几种情况。
A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的左子结点，所以为 LL 型。
扁担原理：右旋
将 A 的左孩子 B 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 B 的右孩子；
各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，BR 调整为 A 的左子树)。
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。
private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) { if(a == null || a.left == null) return a; AVLNode<K, V> b = a.left; a.left = b.right; b.right = a; a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1; b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1; return b; }A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的右子结点，所以为 RR 型。
扁担原理：左旋
将 A 的右孩子 B 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 B 的左孩子；
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，BL 调整为 A 的右子树)。
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。
private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) { if (a == null || a.right == null) return a; AVLNode<K, V> b = a.right; a.right = b.left; b.left = a; a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1; b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1; return b; }A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的右子结点，所以为 LR 型。
从旋转的角度：对 B 左旋，然后对 A 右旋
将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 C 的右孩子；
各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，CL 和 CR 分别调整为 B 的右子树和 A 的左子树)。
private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) { a.left = leftRotate(a.left); // 对 B 左旋 return rightRotate(a); // 对 A 右旋 }A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的左子结点，所以为 RL 型。
从旋转的角度：对 B 右旋，然后对 A 左旋
将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 C 的左孩子；
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，CL 和 CR 分别调整为 A 的右子树和 B 的左子树)。
private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) { a.right = rightRotate(a.right); return leftRotate(a); }根结点默认高度为 1
某结点的左右子树高度差的绝对值为 2，则需要进行平衡处理
左子树高
key 小于 root.left.key：LL型，进行右旋
key 大于 root.left.key：LR型，进行左右旋
右子树高
key 大于 root.right.key：RR型，进行左旋
key 小于 root.right.key：RR型，进行右左旋
public void insert(K key, V value) { root = insert(root, key, value); } private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) { if (t == null) { return new AVLNode<>(key, value, 1); } else if (key.compareTo(t.key) < 0) { t.left = insert(t.left, key, value); t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1; // 平衡因子判断 if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) { if (key.compareTo(root.left.key) < 0) // 左左：右旋 t = rightRotate(t); else // 左右：先左旋，再右旋 t = leftRightRotate(t); } } else if (key.compareTo(t.key) > 0) { t.right = insert(t.right, key, value); t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1; // 平衡因子判断 if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) { if (key.compareTo(root.right.key) > 0) // 右右：左旋 t = leftRotate(t); else // 右左：先右旋，再左旋 t = rightLeftRotate(t); } } else { t.value = value; } return t; }可采用二叉查找树的删除算法进行删除。
【数据结构与算法】手撕二叉查找树
删除某结点 X 后，沿从 X 到根节点的路径上考察沿途结点的平衡系数，若第一个不平衡点为 A，平衡以 A 为根的子树。
平衡后，可能使子树 A 高度变小。这样可能导致 A 的父节点不满足平衡性。
所以要继续向上考察结点的平衡性，最远可能至根结点，即最多需要做 O(logn) 次旋转。
对比“插入”操作：平衡 A 后，子树高度不变，A 子树以外的结点不受影响，即插入最多涉及 O(1) 次旋转。
?? 下面举个删除的例子：
删除以下平衡二叉树中的 16 结点
1?? 16 为叶子，将其删除即可，如下图。
2?? 指针 g 指向实际被删除节点 16 之父 25，检查是否失衡，25 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点（从失衡节点沿着高度大的子树向下找三代），判断为 RL 型，进行 RL 旋转调整平衡，如下图所示。
3?? 继续向上检查，指针 g 指向 g 的双亲 69，检查是否失衡，69 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点，判断为 RR 型，进行 RR 旋转调整平衡，如下图所示。
代码描述：
若当前结点为空， 则返回该节点
若关键值小于当前结点的关键值，则递归处理该结点的左子树
若关键值大于当前结点的关键值，则递归处理该结点的右子树
若关键值等于当前结点的关键值
若当前结点的左子树为空，则返回该结点的右子树根节点
若当前结点的右子树为空，则返回该结点的左子树根节点
若当前结点左右子树都不为空，则找到该结点的中序前驱结点（该结点左子树的最右结点）或中序后继结点（该结点右子树的最左结点），将其值赋予该结点，然后递归删除中序前驱或后继结点。
更新结点高度
若该结点左子树高度更高，且处于不平衡状态
若为 LL 型，进行右旋
若为 LR 型，先左旋，再右旋
若该结点右子树高度更高，且处于不平衡状态
若为 RL 型，先右旋，再左旋
若我 RR 型，进行左旋
返回该结点
public void remove(K key) { this.root = delete(root, key); } public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) { if (t == null) return t; if (key.compareTo(t.key) < 0) { t.left = delete(t.left, key); } else if (key.compareTo(t.key) > 0) { t.right = delete(t.right, key); } else { if(t.left == null) return t.right; else if(t.right == null) return t.left; else { // t.left != null && t.right != null AVLNode<K, V> pre = t.left; while (pre.right != null) { pre = pre.right; } t.key = pre.key; t.value = pre.value; t.left = delete(t.left, t.key); } } if (t == null) return t; t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1; if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) { if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) { return rightRotate(t); } else { return leftRightRotate(t); } } else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) { if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) { return rightLeftRotate(t); } else { return leftRotate(t); } } return t; }class AVLNode<K extends Comparable<K>, V> { public K key; public V value; public int height; public AVLNode<K, V> left; public AVLNode<K, V> right; public AVLNode(K key, V value, int height) { this.key = key; this.value = value; this.height = height; }}class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> { public AVLNode<K, V> root; public int getHeight(AVLNode<K, V> t) { return t == null ? 0 : t.height; } public void insert(K key, V value) { root = insert(root, key, value); } public void remove(K key) { this.root = delete(root, key); } public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) { if (t == null) return t; if (key.compareTo(t.key) < 0) { t.left = delete(t.left, key); } else if (key.compareTo(t.key) > 0) { t.right = delete(t.right, key); } else { if(t.left == null) return t.right; else if(t.right == null) return t.left; else { // t.left != null && t.right != null AVLNode<K, V> pre = t.left; while (pre.right != null) { pre = pre.right; } t.key = pre.key; t.value = pre.value; t.left = delete(t.left, t.key); } } if (t == null) return t; t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1; if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) { if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) { return rightRotate(t); } else { return leftRightRotate(t); } } else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) { if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) { return rightLeftRotate(t); } else { return leftRotate(t); } } return t; } private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) { if (t == null) { return new AVLNode<>(key, value, 1); } if (key.compareTo(t.key) < 0) { t.left = insert(t.left, key, value); // 平衡因子判断 if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) { if (key.compareTo(t.left.key) < 0) // 左左：右旋 t = rightRotate(t); else // 左右：先左旋，再右旋 t = leftRightRotate(t); } } else if (key.compareTo(t.key) > 0) { t.right = insert(t.right, key, value); // 平衡因子判断 if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) { if (key.compareTo(t.right.key) > 0) // 右右：左旋 t = leftRotate(t); else // 右左：先右旋，再左旋 t = rightLeftRotate(t); } } else { t.value = value; } t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1; return t; } private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) { a.right = rightRotate(a.right); return leftRotate(a); } private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) { a.left = leftRotate(a.left); return rightRotate(a); } private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) { AVLNode<K, V> b = a.right; a.right = b.left; b.left = a; a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1; b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1; return b; } private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) { AVLNode<K, V> b = a.left; a.left = b.right; b.right = a; a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1; b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1; return b; } private void inorder(AVLNode<K, V> root) { if (root != null) { inorder(root.left); System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") "); inorder(root.right); } } private void preorder(AVLNode<K, V> root) { if (root != null) { System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") "); preorder(root.left); preorder(root.right); } } private void postorder(AVLNode<K, V> root) { if (root != null) { postorder(root.left); postorder(root.right); System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") "); } } public void postorderTraverse() { System.out.print("后序遍历："); postorder(root); System.out.println(); } public void preorderTraverse() { System.out.print("先序遍历："); preorder(root); System.out.println(); } public void inorderTraverse() { System.out.print("中序遍历："); inorder(root); System.out.println(); }}?? 方法测试
public static void main(String[] args) { AVLTree<Integer, Integer> tree = new AVLTree<>(); tree.insert(69, 1); tree.insert(25, 1); tree.insert(80, 1); tree.insert(16, 1); tree.insert(56, 1); tree.insert(75, 1); tree.insert(90, 1); tree.insert(30, 1); tree.insert(78, 1); tree.insert(85, 1); tree.insert(98, 1); tree.insert(82, 1); tree.remove(16); tree.preorderTraverse(); tree.inorderTraverse(); tree.postorderTraverse(); }输出
先序遍历：(key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 98 , value: 1 , height: 1) 中序遍历：(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 98 , value: 1 , height: 1) 后序遍历：(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 98 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 80 , value: 1 , height: 4)