本文讲解了神经网络计算图、前向传播与反向传播、标量与向量化形式计算、求导链式法则应用、神经网络结构、 激活函数等内容【对应 CS231n Lecture 4】 
本系列为 斯坦福CS231n 《深度学习与计算机视觉(Deep Learning for Computer Vision)》的全套学习笔记，对应的课程视频可以在 这里 查看。更多资料获取方式见文末。
在上一篇 深度学习与CV教程(3) | 损失函数与最优化 内容中，我们给大家介绍了线性模型的损失函数构建与梯度下降等优化算法，【本篇内容】ShowMeAI给大家切入到神经网络，讲解神经网络计算图与反向传播以及神经网络结构等相关知识。
神经网络的训练，应用到的梯度下降等方法，需要计算损失函数的梯度，而其中最核心的知识之一是反向传播，它是利用数学中链式法则递归求解复杂函数梯度的方法。而像tensorflow、pytorch等主流AI工具库最核心的智能之处也是能够自动微分，在本节内容中ShowMeAI就结合cs231n的第4讲内容展开讲解一下神经网络的计算图和反向传播。
关于神经网络反向传播的解释也可以参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 神经网络基础、浅层神经网络、深层神经网络 里对于不同深度的网络前向计算和反向传播的讲解
我们来看一个简单的例子，函数为 \(f(x,y,z) = (x + y) z\)。初值 \(x = -2\)，\(y = 5\)，\(z = -4\)。这是一个可以直接微分的表达式，但是我们使用一种有助于直观理解反向传播的方法来辅助理解。
下图是整个计算的线路图，绿字部分是函数值，红字是梯度。（梯度是一个向量，但通常将对 \(x\) 的偏导数称为 \(x\) 上的梯度。）
上述公式可以分为2部分， \(q = x + y\) 和 \(f = q z\)。它们都很简单可以直接写出梯度表达式：
我们对 \(q\) 上的梯度不关心（ \(\frac{\partial f}{\partial q}\) 没有用处）。我们关心 \(f\) 对于 \(x,y,z\) 的梯度。链式法则告诉我们可以用「乘法」将这些梯度表达式链接起来，比如
前向传播从输入计算到输出（绿色），反向传播从尾部开始，根据链式法则递归地向前计算梯度（显示为红色），一直到网络的输入端。可以认为，梯度是从计算链路中回流。
上述计算的参考 python 实现代码如下：
# 设置输入值x = -2; y = 5; z = -4# 进行前向传播q = x + y # q 是 3f = q * z # f 是 -12# 进行反向传播:# 首先回传到 f = q * zdfdz = q # df/dz = q, 所以关于z的梯度是3dfdq = z # df/dq = z, 所以关于q的梯度是-4# 现在回传到q = x + ydfdx = 1.0 * dfdq # dq/dx = 1. 这里的乘法是因为链式法则。所以df/dx是-4dfdy = 1.0 * dfdq # dq/dy = 1.所以df/dy是-4'''一般可以省略df'''反向传播是一个优美的局部过程。
以下图为例，在整个计算线路图中，会给每个门单元（也就是 \(f\) 结点）一些输入值 \(x\) , \(y\) 并立即计算这个门单元的输出值 \(z\) ，和当前节点输出值关于输入值的局部梯度（local gradient） \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 。
门单元的这两个计算在前向传播中是完全独立的，它无需知道计算线路中的其他单元的计算细节。但在反向传播的过程中，门单元将获得整个网络的最终输出值在自己的输出值上的梯度 \(\frac{\partial L}{\partial z}\) 。
根据链式法则，整个网络的输出对该门单元的每个输入值的梯度，要用回传梯度乘以它的输出对输入的局部梯度，得到 \(\frac{\partial L}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial L}{\partial y}\) 。这两个值又可以作为前面门单元的回传梯度。
因此，反向传播可以看做是门单元之间在通过梯度信号相互通信，只要让它们的输入沿着梯度方向变化，无论它们自己的输出值在何种程度上升或降低，都是为了让整个网络的输出值更高。
比如引例中 \(x,y\) 梯度都是 \(-4\)，所以让 \(x,y\) 减小后，\(q\) 的值虽然也会减小，但最终的输出值 \(f\) 会增大（当然损失函数要的是最小）。
引例中用到了两种门单元：加法和乘法。
除此之外，常用的操作还包括取最大值：
上式含义为：若该变量比另一个变量大，那么梯度是 \(1\)，反之为 \(0\)。
乘法门单元的局部梯度就是输入值，但是是相互交换之后的，然后根据链式法则乘以输出值的梯度。基于此，如果乘法门单元的其中一个输入非常小，而另一个输入非常大，那么乘法门会把大的梯度分配给小的输入，把小的梯度分配给大的输入。
以我们之前讲到的线性分类器为例，权重和输入进行点积 \(w^Tx_i\) ，这说明输入数据的大小对于权重梯度的大小有影响。具体的，如在计算过程中对所有输入数据样本 \(x_i\) 乘以 100，那么权重的梯度将会增大 100 倍，这样就必须降低学习率来弥补。
也说明了数据预处理有很重要的作用，它即使只是有微小变化，也会产生巨大影响。
对于梯度在计算线路中是如何流动的有一个直观的理解，可以帮助调试神经网络。
我们来看一个复杂一点的例子：
这个表达式需要使用新的门单元：
计算过程如下：
我们可以将任何可微分的函数视作「门」。可以将多个门组合成一个门，也可以根据需要将一个函数拆成多个门。我们观察可以发现，最右侧四个门单元可以合成一个门单元，\(\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\) ，这个函数称为 sigmoid 函数。
sigmoid 函数可以微分：
所以上面的例子中已经计算出 \(\sigma(x)=0.73\) ，可以直接计算出乘 \(-1\) 门单元输入值的梯度为：\(1 \ast (1-0.73) \ast0.73~=0.2\)，计算简化很多。
上面这个例子的反向传播的参考 python 实现代码如下：
# 假设一些随机数据和权重w = [2,-3,-3] x = [-1, -2]# 前向传播，计算输出值dot = w[0]*x[0] + w[1]*x[1] + w[2]f = 1.0 / (1 + math.exp(-dot)) # sigmoid函数# 反向传播，计算梯度ddot = (1 - f) * f # 点积变量的梯度, 使用sigmoid函数求导dx = [w[0] * ddot, w[1] * ddot] # 回传到xdw = [x[0] * ddot, x[1] * ddot, 1.0 * ddot] # 回传到w# 最终得到输入的梯度在实际操作中，有时候我们会把前向传播分成不同的阶段，这样可以让反向传播过程更加简洁。比如创建一个中间变量 \(dot\)，存放 \(w\) 和 \(x\) 的点乘结果。在反向传播时，可以很快计算出装着 \(w\) 和 \(x\) 等的梯度的对应的变量（比如 \(ddot\)，\(dx\) 和 \(dw\)）。
本篇内容列了很多例子，我们希望通过这些例子讲解「前向传播」与「反向传播」过程，哪些函数可以被组合成门，如何简化，这样他们可以“链”在一起，让代码量更少，效率更高。
这个表达式只是为了实践反向传播，如果直接对 \(x,y\) 求导，运算量将会很大。下面先代码实现前向传播：
x = 3 # 例子数值y = -4# 前向传播sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y)) # 分子中的sigmoid #(1)num = x + sigy # 分子 #(2)sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x)) # 分母中的sigmoid #(3)xpy = x + y #(4)xpysqr = xpy**2 #(5)den = sigx + xpysqr # 分母 #(6)invden = 1.0 / den #(7)f = num * invden 代码创建了多个中间变量，每个都是比较简单的表达式，它们计算局部梯度的方法是已知的。可以给我们计算反向传播带来很多便利：
d 开头），存储对应变量的梯度。# 回传 f = num * invdendnum = invden # 分子的梯度 #(8)dinvden = num # 分母的梯度 #(8)# 回传 invden = 1.0 / den dden = (-1.0 / (den**2)) * dinvden #(7)# 回传 den = sigx + xpysqrdsigx = (1) * dden #(6)dxpysqr = (1) * dden #(6)# 回传 xpysqr = xpy**2dxpy = (2 * xpy) * dxpysqr #(5)# 回传 xpy = x + ydx = (1) * dxpy #(4)dy = (1) * dxpy #(4)# 回传 sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x))dx += ((1 - sigx) * sigx) * dsigx # 注意这里用的是+=，下面有解释 #(3)# 回传 num = x + sigydx += (1) * dnum #(2)dsigy = (1) * dnum #(2)# 回传 sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y))dy += ((1 - sigy) * sigy) * dsigy 补充解释：
①对前向传播变量进行缓存
②在不同分支的梯度要相加
如果有一个计算图，已经拆分成门单元的形式，那么主类代码结构如下：
class ComputationalGraph(object): # ... def forward(self, inputs): # 把inputs传递给输入门单元 # 前向传播计算图 # 遍历所有从后向前按顺序排列的门单元 for gate in self.graph.nodes_topologically_sorted(): gate.forward() # 每个门单元都有一个前向传播函数 return loss # 最终输出损失 def backward(self): # 反向遍历门单元 for gate in reversed(self.graph.nodes_topologically_sorted()): gate.backward() # 反向传播函数应用链式法则 return inputs_gradients # 输出梯度 return inputs_gradients # 输出梯度门单元类可以这么定义，比如一个乘法单元：
class MultiplyGate(object): def forward(self, x, y): z = x*y self.x = x self.y = y return z def backward(self, dz): dx = self.y * dz dy = self.x * dz return [dx, dy]先考虑一个简单的例子，比如：
这个 \(max\) 函数对输入向量 \(x\) 的每个元素都和 \(0\) 比较输出最大值，因此输出向量的维度也是 \(4096\)维。此时的梯度是雅可比矩阵，即输出的每个元素对输入的每个元素求偏导组成的矩阵。
假如输入 \(x\) 是 \(n\) 维的向量，输出 \(y\) 是 \(m\) 维的向量，则 \(y_1,y_2, \cdots,y_m\) 都是 \((x_1-x_n)\) 的函数，得到的雅克比矩阵如下所示：
那么这个例子的雅克比矩阵是 \([4096 \times 4096]\) 维的，输出有 \(4096\) 个元素，每一个都要求 \(4096\) 次偏导。其实仔细观察发现，这个例子输出的每个元素都只和输入相应位置的元素有关，因此得到的是一个对角矩阵。
实际应用的时候，往往 100 个 \(x\) 同时输入，此时雅克比矩阵是一个 \([409600 \times 409600]\) 的对角矩阵，当然只是针对这里的 \(f\) 函数。
实际上，完全写出并存储雅可比矩阵不太可能，因为维度极其大。
目标公式为： \(f(x,W)=\vert \vert W\cdot x \vert \vert ^2=\sum_{i=1}^n (W\cdot x)_{i}^2\)
其中 \(x\) 是 \(n\) 维的向量，\(W\) 是 \(n \times n\) 的矩阵。
设 \(q=W\cdot x\) ,于是得到下面的式子：
可以看出：
\(\frac{\partial f}{\partial q_i}=2q_i\) 从而得到 \(f\) 对 \(q\) 的梯度为 \(2q\) ；
\(\frac{\partial q_k}{\partial W_{i, j}}=1{i=k}x_j\)，\(\frac{\partial f}{\partial W_{i, j}}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial W_{i, j}}=\sum_{k=1}^n(2q_k)1{i=k}x_j=2q_ix_j\)，从而得到 \(f\) 对 \(W\) 的梯度为 \(2q\cdot x^T\) ；
\(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}=W_{k,i}\) ， \(\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n(2q_k)W_{k,i}\) ，从而得到 \(f\) 对 \(x\) 的梯度为 \(2W^T\cdot q\)
下面为计算图：
import numpy as np# 初值W = np.array([[0.1, 0.5], [-0.3, 0.8]])x = np.array([0.2, 0.4]).reshape((2, 1)) # 为了保证dq.dot(x.T)是一个矩阵而不是实数# 前向传播q = W.dot(x)f = np.sum(np.square(q), axis=0)# 反向传播# 回传 f = np.sum(np.square(q), axis=0)dq = 2*q# 回传 q = W.dot(x)dW = dq.dot(x.T) # x.T就是对矩阵x进行转置dx = W.T.dot(dq)注意：要分析维度！不要去记忆 \(dW\) 和 \(dx\) 的表达式，因为它们很容易通过维度推导出来。
权重的梯度 \(dW\) 的尺寸肯定和权重矩阵 \(W\) 的尺寸是一样的
例如，\(x\) 的尺寸是 \([2 \times 1]\)，\(dq\) 的尺寸是 \([2 \times 1]\)，如果你想要 \(dW\) 和 \(W\) 的尺寸是 \([2 \times 2]\)，那就要 dq.dot(x.T)，如果是 x.T.dot(dq) 结果就不对了。（\(dq\) 是回传梯度不能转置！）
在不诉诸大脑的类比的情况下，依然是可以对神经网络算法进行介绍的。
在线性分类一节中，在给出图像的情况下，是使用 \(Wx\) 来计算不同视觉类别的评分，其中 \(W\) 是一个矩阵，\(x\) 是一个输入列向量，它包含了图像的全部像素数据。在使用数据库 CIFAR-10 的案例中，\(x\) 是一个 \([3072 \times 1]\) 的列向量，\(W\) 是一个 \([10 \times 3072]\) 的矩阵，所以输出的评分是一个包含10个分类评分的向量。
一个两层的神经网络算法则不同，它的计算公式是 \(s = W_2 \max(0, W_1 x)\) 。
\(W_1\) 的含义：举例来说，它可以是一个 \([100 \times 3072]\) 的矩阵，其作用是将图像转化为一个100维的过渡向量，比如马的图片有头朝左和朝右，会分别得到一个分数。
函数 \(max(0,-)\) 是非线性的，它会作用到每个元素。这个非线性函数有多种选择，大家在后续激活函数里会再看到。现在看到的这个函数是最常用的ReLU激活函数，它将所有小于 \(0\) 的值变成 \(0\)。
矩阵 \(W_2\) 的尺寸是 \([10 \times 100]\)，会对中间层的得分进行加权求和，因此将得到 10 个数字，这10个数字可以解释为是分类的评分。
注意：非线性函数在计算上是至关重要的，如果略去这一步，那么两个矩阵将会合二为一，对于分类的评分计算将重新变成关于输入的线性函数。这个非线性函数就是改变的关键点。
参数 \(W_1\) **,$ **W_2$ 将通过随机梯度下降来学习到，他们的梯度在反向传播过程中，通过链式法则来求导计算得出。
一个三层的神经网络可以类比地看做 \(s = W_3 \max(0, W_2 \max(0, W_1 x))\) ，其中\(W_1\), \(W_2\) ,\(W_3\) 是需要进行学习的参数。中间隐层的尺寸是网络的超参数，后续将学习如何设置它们。现在让我们先从神经元或者网络的角度理解上述计算。
两层神经网络参考代码实现如下，中间层使用 sigmoid 函数：
import numpy as npfrom numpy.random import randnN, D_in, H, D_out = 64, 1000, 100, 10# x 是64x1000的矩阵，y是64x10的矩阵x, y = randn(N, D_in), randn(N, D_out)# w1是1000x100的矩阵，w2是100x10的矩阵w1, w2 = randn(D_in, H), randn(H, D_out)# 迭代10000次，损失达到0.0001级for t in range(10000): h = 1 / (1 + np.exp(-x.dot(w1))) # 激活函数使用sigmoid函数，中间层 y_pred = h.dot(w2) loss = np.square(y_pred - y).sum() # 损失使用 L2 范数 print(str(t)+': '+str(loss)) # 反向传播 grad_y_pred = 2.0 * (y_pred - y) grad_w2 = h.T.dot(grad_y_pred) grad_h = grad_y_pred.dot(w2.T) # grad_xw1 = grad_h*h*(1-h) grad_w1 = x.T.dot(grad_h*h*(1-h)) # 学习率是0.0001 w1 -= 1e-4 * grad_w1 w2 -= 1e-4 * grad_w2神经网络算法很多时候是受生物神经系统启发而简化模拟得到的。
大脑的基本计算单位是神经元（neuron） 。人类的神经系统中大约有 860 亿个神经元，它们被大约 1014 - 1015 个突触（synapses） 连接起来。下图的上方是一个生物学的神经元，下方是一个简化的常用数学模型。每个神经元都从它的树突（dendrites） 获得输入信号，然后沿着它唯一的轴突（axon） 产生输出信号。轴突在末端会逐渐分枝，通过突触和其他神经元的树突相连。
在神经元的计算模型中，沿着轴突传播的信号（比如 \(x_0\) ）将基于突触的突触强度（比如 \(w_0\) ），与其他神经元的树突进行乘法交互（比如 \(w_0 x_0\) ）。
对应的想法是，突触的强度（也就是权重 \(w\) ），是可学习的且可以控制一个神经元对于另一个神经元的影响强度（还可以控制影响方向：使其兴奋（正权重）或使其抑制（负权重））。
树突将信号传递到细胞体，信号在细胞体中相加。如果最终之和高于某个阈值，那么神经元将会「激活」，向其轴突输出一个峰值信号。
在计算模型中，我们假设峰值信号的准确时间点不重要，是激活信号的频率在交流信息。基于这个速率编码的观点，将神经元的激活率建模为激活函数（activation function） \(f\) ，它表达了轴突上激活信号的频率。
由于历史原因，激活函数常常选择使用sigmoid函数 \(\sigma\) ，该函数输入实数值（求和后的信号强度），然后将输入值压缩到 \(0\sim 1\) 之间。在本节后面部分会看到这些激活函数的各种细节。
这里的激活函数 \(f\) 采用的是 sigmoid 函数，代码如下：
class Neuron: # ... def neuron_tick(self, inputs): # 假设输入和权重都是1xD的向量，偏差是一个数字 cell_body_sum = np.sum(inputs*self.weights) + self.bias # 当和远大于0时，输出为1，被激活 firing_rate = 1.0 / (1.0 + np.exp(-cell_body_sum)) return firing_rate
关于神经网络结构的知识也可以参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 神经网络基础、浅层神经网络、深层神经网络 里对于不同深度的网络结构的讲解
对于普通神经网络，最普通的层级结构是全连接层（fully-connected layer） 。全连接层中的神经元与其前后两层的神经元是完全成对连接的，但是在同层内部的神经元之间没有连接。网络结构中没有循环（因为这样会导致前向传播的无限循环）。
下面是两个神经网络的图例，都使用的全连接层：
注意：当我们说 \(N\) 层神经网络的时候，我们并不计入输入层。单层的神经网络就是没有隐层的（输入直接映射到输出）。也会使用人工神经网络（Artificial Neural Networks 缩写ANN）或者多层感知器（Multi-Layer Perceptrons 缩写MLP）来指代全连接层构建的这种神经网络。此外，输出层的神经元一般不含激活函数。
用来度量神经网络的尺寸的标准主要有两个：一个是神经元的个数，另一个是参数的个数。用上面图示的两个网络举例：
现代卷积神经网络能包含上亿个参数，可由几十上百层构成（这就是深度学习）。
不断用相似的结构堆叠形成网络，这让神经网络算法使用矩阵向量操作变得简单和高效。我们回到上面那个3层神经网络，输入是 \([3 \times 1]\) 的向量。一个层所有连接的权重可以存在一个单独的矩阵中。
比如第一个隐层的权重 \(W_1\) 是 \([4 \times 3]\)，所有单元的偏置储存在 \(b_1\) 中，尺寸 \([4 \times 1]\)。这样，每个神经元的权重都在 \(W_1\) 的一个行中，于是矩阵乘法 np.dot(W1, x)+b1 就能作为该层中所有神经元激活函数的输入数据。类似的，\(W_2\) 将会是 \([4 \times 4]\) 矩阵，存储着第二个隐层的连接，\(W_3\) 是 \([1 \times 4]\) 的矩阵，用于输出层。
完整的3层神经网络的前向传播就是简单的3次矩阵乘法，其中交织着激活函数的应用。
import numpy as np# 三层神经网络的前向传播# 激活函数f = lambda x: 1.0/(1.0 + np.exp(-x))# 随机输入向量3x1x = np.random.randn(3, 1)# 设置权重和偏差W1, W2, W3 = np.random.randn(4, 3), np.random.randn(4, 4), np.random.randn(1, 4),b1, b2= np.random.randn(4, 1), np.random.randn(4, 1)b3 = 1# 计算第一个隐藏层激活 4x1h1 = f(np.dot(W1, x) + b1)# 计算第二个隐藏层激活 4x1h2 = f(np.dot(W2, h1) + b2)# 输出是一个数out = np.dot(W3, h2) + b3在上面的代码中，\(W_1\)，\(W_2\)，\(W_3\)，\(b_1\)，\(b_2\)，\(b_3\) 都是网络中可以学习的参数。注意 \(x\) 并不是一个单独的列向量，而可以是一个批量的训练数据（其中每个输入样本将会是 \(x\) 中的一列），所有的样本将会被并行化的高效计算出来。
注意神经网络最后一层通常是没有激活函数的（例如，在分类任务中它给出一个实数值的分类评分）。
全连接层的前向传播一般就是先进行一个矩阵乘法，然后加上偏置并运用激活函数。
关于深度神经网络的解释也可以参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 深层神经网络 里「深度网络其他优势」部分的讲解
全连接层的神经网络的一种理解是：
拥有至少一个隐层的神经网络是一个通用的近似器，神经网络可以近似任何连续函数。
虽然一个2层网络在数学理论上能完美地近似所有连续函数，但在实际操作中效果相对较差。虽然在理论上深层网络（使用了多个隐层）和单层网络的表达能力是一样的，但是就实践经验而言，深度网络效果比单层网络好。
对于全连接神经网络而言，在实践中3层的神经网络会比2层的表现好，然而继续加深（做到4，5，6层）很少有太大帮助。卷积神经网络的情况却不同，在卷积神经网络中，对于一个良好的识别系统来说，深度是一个非常重要的因素（比如当今效果好的CNN都有几十上百层）。对于该现象的一种解释观点是：因为图像拥有层次化结构（比如脸是由眼睛等组成，眼睛又是由边缘组成），所以多层处理对于这种数据就有直观意义。
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