【数据结构】吉司机线段树

【数据结构】吉司机线段树(Segment Tree Beats)

吉司机线段树，是由杭州学军中学的吉如一在2016年国集论文当中提出的，解决了区间最值操作和区间历史最值问题。

题目描述

给出一个长度为 \(n\) 的数列 \(A\)，同时定义一个辅助数组 \(B\)，\(B\) 开始与 \(A\) 完全相同。接下来进行了 \(m\) 次操作，操作有五种类型，按以下格式给出：

• 1 l r k：对于所有的 \(i\in[l,r]\)，将 \(A_i\) 加上 \(k\)（\(k\) 可以为负数）。
• 2 l r v：对于所有的 \(i\in[l,r]\)，将 \(A_i\) 变成 \(\min(A_i,v)\)。
• 3 l r：求 \(\sum_{i=l}^{r}A_i\)。
• 4 l r：对于所有的 \(i\in[l,r]\)，求 \(A_i\) 的最大值。
• 5 l r：对于所有的 \(i\in[l,r]\)，求 \(B_i\) 的最大值。

在每一次操作后，我们都进行一次更新，让 \(B_i\gets\max(B_i,A_i)\)。

算法描述

对于1、3、4操作，是最基本的线段树区间加，区间求和、求max的操作，详见P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)，我们先来解决操作2，我们发现想要动态探测哪些值大于\(v\)，并进行min操作十分艰难，因为每个大于\(v\)的数不一样，所以每个大于\(v\)的数要减去的数就不一样，很难统计。

那就让区间内大于\(v\)的数只有一个好了。

对于一个区间，我们记录一个最大值\(maxn\)，和一个严格次大值\(sec\)（只有一个值时为\(-inf\)），对于区间取\(min\)操作，我们分为以下三种情况讨论：

1.\(k \geq maxn\)，\(k\)在这个区间之内不能更新任何一个值，直接\(return\)

2.\(maxn > k > sec\)，\(k\)只能更新\(maxn\)，让\(sum -= maxn * cnt\)(区间最大值个数)\(,maxn = k\)，因为要下传操作，所以让\(tag2\)(更新\(maxn\)的\(tag\))减去(\(maxn - k\))

3.\(k \leq sec\),分别向\(lc\)和\(rc\)两边递归更新答案。

这样我们就完成了对最小值的更新，同时向两边递归，会不会影响复杂度？事实上这个操作的复杂度仍然是\(O(logn)\)的，证明如下：
（选自吉如一2016国家集训队论文）

代码：

inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{
	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	{
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}

现在来看操作5，我们发现，因为修改只有加，一个位置的历史最大值，其实是这个位置原来的值（不一定是原始值，可以看作是pushdown之前的值）加上pushdown之前出现过最大的tag，我们发现在上面的\(modify\_min\)操作中最大值会单独改变，所以区间中的最大值与其他数改变的量（也就是tag）是不一样的，所以我们记录\(tag1\),\(tag2\)代表其他数，最大值的改变量，用\(tag3\),\(tag4\)表示\(tag1\),\(tag2\)在pushdown之前的最大值，这样我们在pushdown的时候就有：

\[history\_max_{pos} = max\{history\_max_{pos},max_{pos} + tag4\} \]

每次更新\(k1\)和\(k3\)的时候，都相应的更新\(k2\)和\(k4\)

其实最难的部分在更新标记上，这里我们先讲上传：

和、最大值、历史最大值都可以左右区间直接合并更新，但是对于次大值和最大值个数，我们分类讨论：

1.\(maxn_{lc} == maxn_{rc}\) : 这个时候次大值应当等于两儿子的次大值取\(max\)，而最大值计数等于两边相加。

2.\(maxn_{lc} > maxn_{rc}\) : 次大值等于左边的次大值和右边的最大值取\(max\)，最大值计数等于左边的\(cnt\)

3.\(maxn_{lc} < maxn_{rc}\) : 次大值等于左边的最大值和右边的次大值取\(max\)，最大值计数等于右边的\(cnt\)

这样就完成了上传

inline void pushup(int pos)
{
	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;
}

对于下传，我们也需要分类讨论：
如果全局最大值在左边，那么左边的最大值要按照最大值的方式来更新（即将\(tag2\)和\(tag4\)传下去），否则就将左边不管是不是左边的最大值，都用\(tag1\)和\(tag3\)来更新。

如果全局最大值在右边，同理。

注意这两个条件可以同时成立，不要写else

inline void pushdown(int pos,int l,int r)
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;
}
inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)
{
	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;
}

注意\(sec\)一行，如果这个节点没有次大值（就是整个区间只有一个值），那么就不能更新值为\(-inf\)的次大值。

区间加时注意要更新全部变量：

inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{ 
	if(L <= l && r <= R)
	{
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}

对最大值，和，历史最大值的查询正常查询就好，注意在建树的时候给次大值附上\(-inf\)的初值

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5,inf = 2e9;
struct Node{
	long long sum;
	int maxn,sec,cnt,hismax,tag1,tag2,tag3,tag4;
}t[N * 4];
int n,m;
inline void pushup(int pos)
{
	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;
}
inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)
{
	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;
}
inline void pushdown(int pos,int l,int r)
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;
}
inline void build(int l,int r,int pos)
{
	if(l == r)
	{
		cin>>t[pos].sum;
		t[pos].maxn = t[pos].sum;
		t[pos].hismax = t[pos].maxn;
		t[pos].sec = -inf;
		t[pos].tag1 = t[pos].tag2 = t[pos].tag3 = t[pos].tag4 = 0;
		t[pos].cnt = 1;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(l,mid,pos << 1);
	build(mid + 1,r,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{ 
	if(L <= l && r <= R)
	{
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{
	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	{
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline long long query_sum(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].sum;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	long long ret = 0;
	if(L <= mid) ret += query_sum(l,mid,L,R,pos << 1);
	if(R > mid) ret += query_sum(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
	return ret;
}
inline int query_max(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].maxn;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_max(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_max(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;
}
inline int query_hismax(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].hismax;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_hismax(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_hismax(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	build(1,n,1);
	int op,l,r,k;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		cin>>op>>l>>r;
		switch(op)
		{
			case 1:
				cin>>k;
				modify_add(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 2:
				cin>>k;
				modify_min(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 3:
				cout<<query_sum(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 4:
				cout<<query_max(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 5:
				cout<<query_hismax(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
		}
	}
	return 0;
}

"所有的真理，都是符合客观事实的，更是顺着逻辑的。"